안녕하세요. 똘이 아부지입니다.
세상에서 가장 아름다운 수라고 여겨지는 자연상수 e와 원주율 π을 학창시절 한 번 쯤은 들어 보신적이 있을거라 생각합니다. 그리고 이 두 상수는 '세상에서 가장 아름다운 공식'이라고 불리는 오일러 공식에서 다음과 같이 표시되기도 합니다.
오늘은 이 중에서 연속적인 성장을 다루는 분야에서 중요하게 사용되는 자연상수 e에 대한 소개와 함께, 투자의 측면에서 이 자연상수가 지니는 의미에 대해 이야기 해 보도록 하겠습니다.
자연상수 e, 당신은 누구인가요?
자연상수는 끝이 없는 무한 소수이자 초월수로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. (자연상수에 정의 및 개념에 포커스를 맞춘 글이 아니니 '아 자연상수는 이렇게 나타낼 수 있구나~' 정도로만 생각하고 가볍게 보시면 될 것 같습니다.)
이 자연상수를 보다 직관적으로 이해하기 위하여 예금을 예를 들어 설명해 보도록 하겠습니다.
똘이 아부지는 목돈 만들기 용으로 예금 계좌 개설을 하고자 은행을 찾아 갔습니다. 똘이 아부지가 찾아간 은행에서는 1억원을 넣으면 1년 후 2억원을 주는 연 이자율 100%의 파격적인 예금 상품을 똘이 아부지에게 소개하였습니다. 이 예금 상품을 식으로 표현하면 아래와 같습니다.
말도 안되는 예금 상품을 믿지 못한 똘이 아부지는 돈을 예치하고 1년을 기다리는 대신 6개월 투자 후 다시 남은 6개월 동안 다시 투자해도 되냐고 물어보았습니다. 은행원은 어떻게든 똘이 아부지를 잡기위해 이 또한 가능하다고 하였습니다. 이 경우 6개월 이자는 연 이자율 100%의 반인 50%를 적용하며, 첫 6개월 동안 50%의 이자를 받고, 그 이후 원금과 받은 이자를 다시 6개월 다시 투자합니다. 이 경우 1년 후 통장에 있는 돈은 아래처럼 나타낼 수 있습니다.
똘이 아부지는 나누어 투자하니 돈을 더 받을 수 있다는 것을 발견하고, 은행 직원에게 4개월씩 나누어 1년에 3번 투자도 가능하냐고 물어보았습니다. 은행 직원은 눈물을 머금도 이 또한 가능하다고 하였습니다. 이 경우 연이율 100%의 3분의 1인 33.3%의 이율을 4개월 간 적용받고 이를 다시 재투자하여 4개월 후 받고, 마지막 4개월 다시 재투자하여 총 3번에 걸쳐 투자를 하게 됩니다.
똘이 아부지는 나누어 투자할수록 금액이 늘어나는 것을 보며 365번 나누어 투자도 가능하나고 물어보았습니다. 은행직원은 자포자기 상태로 '니 맘대로 하세요'라고 하였고 신이난 똘이 아부지는 365번 나누어 투자할 경우 얼마를 벌 수 있을지 계산기를 두드려 보았습니다.
나누는 횟수를 크게 늘리면 수익도 크게 늘어날 것이라고 예상한 똘이 아부지의 생각과는 달리 수익은 7,157 만원에 그쳤습니다. 예상과 다른 결과에 화가난 똘이 아부지는 투자 횟수를 무한대로 나누어 계산해 보았습니다. 아래와 같이 결국 2억 7,183만 원에 수렴하게 됨을 확인할 수 있습니다. 즉 연 이자율 100%를 목표로 투자기간을 무한 번 나누어 투자하였을 때 최종적으로 얻을 수 있는 수익은 2억 7,183만원에 수렴하며, 이게 바로 '자연상수'가 되는 것임을 알 수 있습니다.
즉 우리는 투자의 개념에서 자연상수를 아래와 같이 표현할 수 있습니다.
"자연에서 2배(100%) 성장을 목표로 1사이클을 무수히 나누어 투자(연속투자)했을 때 가질 수 있는 최대 자산 증가량"
최대 자산 증가량
위에서 보았다시피 무수히 나누어 투자를 하면 1번 투자했을 때보다 0.718 배의 수익을 추가로 얻을 수 있음을 확인할 수 있습니다. 즉 시간을 쪼개 열심히 투자하는 것은 자연의 선물이라 볼 수도 있지만 아무리 욕심을 부린다 하더라도 그 이상은 얻을 수도 없음을 의미하기도 합니다.
사이클
사이클은 투자 지속 년수를 의미합니다. 즉 n년을 무수히 나누어 투자할 경우 최대 성장률은 e^n로 나타내지며 이는 자연상수의 지수 형태로 표현됨을 의미합니다.
목표
만약 연이율이 100%가 아닌 20%를 목표로 투자할 경우 어떻게 나타낼 수 있을까요? 즉 아래 보시다시피 연 20% 목표로 연속 투자할 경우 e^20%인 약 1.221배의 수익을 낼 수 있습니다. 목표를 10%로 할 경우 e^0.1, 5%를 목표로 한다면 e^0.05로 표현할 수 있습니다. 즉 목표수익률이 정해지면 기대할 수 있는 최대 자산 증가량은 자연상수에 목표수익율을 지수로 가지는 형태로 표현됨을 알 수 있습니다.
자산은 연속성장을 통해 증가
우리가 장기투자를 지향하는 이유는 바로 '지수'에 있습니다. 이 지수적인 증가는 단기적으로 이루어지지 않습니다. 그러기에 많은 이들이 투자를 시작해서 얼마 버티지 못하고 포기하는 경우가 많습니다. 처음 몇 년간의 자산 증가 속도가 너무나도 느리고 실망스럽기 때문입니다.
하지만 자산의 증가는 처음은 매우 더디고 힘들지만 연속성장을 하며 그 속도가 갑자기 증가합니다. 꾸준한 반복과 축적이야말로 자연의 법칙이며, 투자도 방향만 옳바른 방향으로만 간다면 초반에는 더디더라도 놀라운 성과를 누릴 수 있습니다.
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